Треугольник Пенроуза: фигура, которой нет

На бумаге он выглядит убедительно: три прямоугольных бруска, соединённых под прямыми углами в замкнутый треугольник. Но стоит проследить взглядом за каждой гранью — и мозг начинает буксовать. Фигура логически невозможна, однако существует в виде рисунков, скульптур и даже объектов, напечатанных на трёхмерном принтере. Что это — обман зрения, математический курьёз или что-то большее?

Кто придумал невозможный треугольник

В 1934 году восемнадцатилетний шведский гимназист Оскар Реутерсвард сидел на скучной лекции и машинально рисовал кубики. В какой-то момент он сложил девять одинаковых кубиков в треугольную цепочку — и получил фигуру, которую его мозг категорически отказывался признавать возможной. Каждый угол смотрелся нормально, но в целом конструкция не могла существовать в трёхмерном пространстве.

Реутерсвард не публиковал открытие и не придавал ему особого значения. Он просто продолжал рисовать — и в итоге создал несколько тысяч невозможных фигур, заработав прозвище «отец невозможных фигур». В 1980 году Швеция выпустила серию почтовых марок с его работами.

Независимо от Реутерсварда к той же идее пришёл британский математик Роджер Пенроуз. В 1954 году он побывал на выставке работ голландского художника Маурица Эшера в Амстердаме — и был настолько захвачен увиденным, что по дороге домой решил придумать собственный «невозможный объект». Несколько лет экспериментов с брусками и перспективами привели его к тому же треугольнику, который Реутерсвард нарисовал двадцатью годами раньше.

В 1958 году Роджер Пенроуз вместе с отцом, психиатром Лайонелом Пенроузом, опубликовал в «Британском журнале психологии» статью «Невозможные объекты: особый тип визуальной иллюзии». В ней треугольник был изображён уже не из кубиков, а в виде трёх балок, соединённых под прямыми углами, — именно этот вариант и стал классическим. Роджер Пенроуз впоследствии стал лауреатом Нобелевской премии по физике 2020 года за работы в области чёрных дыр — но для широкой публики он навсегда остался человеком с невозможным треугольником.

Почему фигура невозможна

Каждый из трёх углов треугольника Пенроуза выглядит как обычный прямой угол. Смотришь на левый нижний — всё в порядке. Переводишь взгляд на правый нижний — тоже ничего странного. Но когда пытаешься проследить, как одна грань переходит в другую и в третью, возникает противоречие: ближняя сторона и дальняя соединены так, как будто находятся в одной плоскости, хотя по логике перспективы они должны быть на разном расстоянии от глаза.

Мозг воспринимает плоский рисунок как трёхмерный объект — это нормальная работа зрительной системы. В случае с треугольником Пенроуза мозг честно строит трёхмерную модель по двум из трёх углов, а третий угол её разрушает. Получается петля, которую невозможно замкнуть.

Формально это явление описывается через «ложную перспективу»: линии на рисунке соединены так, что интерпретируются как принадлежащие разным глубинам пространства, хотя реально лежат в одной плоскости.

Эшер и невозможная архитектура

Статья Пенроузов попала в руки Маурицу Эшеру в 1958 году — и тот немедленно написал Роджеру письмо с благодарностью. Три года спустя, в 1961 году, вышла литография «Водопад»: вода течёт по желобам, поднимается вверх и снова падает вниз — непрерывно, без источника энергии. В конструкцию желобов встроены сразу два треугольника Пенроуза.

Эшер не был первым, кто использовал невозможные фигуры в искусстве. Исследователи нашли нечто похожее ещё на картине Питера Брейгеля Старшего «Сорока на виселице» 1568 года — там виселица собрана из брусьев, которые не могут стоять так, как нарисованы. Но именно Эшер сделал невозможную геометрию центральным художественным приёмом.

После «Водопада» он создал «Восхождение и спуск» — картину с бесконечной лестницей, по которой монахи идут вверх и вниз одновременно, никогда не достигая ни верха, ни низа. Лестница основана на другом объекте из той же статьи — «лестнице Пенроуза».

Физические воплощения невозможного

В 1999 году в австралийском городе Перт появилась тринадцатиметровая алюминиевая скульптура невозможного треугольника. С той единственной точки, с которой она снята на всех официальных фотографиях, она выглядит в точности как рисунок Пенроуза. Стоит сделать шаг в сторону — и видна настоящая конструкция: три разомкнутых бруска, которые только с одного угла кажутся замкнутыми.

Секрет прост. Треугольник Пенроуза можно построить физически — но он окажется не замкнутым, а разрывающимся в одном из углов. Разрыв скрыт от наблюдателя, стоящего в нужной точке. Это уже не иллюзия на бумаге, а иллюзия в пространстве.

Трёхмерные принтеры сделали такие конструкции доступными для всех. Сегодня модели треугольника Пенроуза можно скачать бесплатно и распечатать дома. Принцип тот же: объект реален, но иллюзия треугольника возникает только при взгляде строго под определённым углом. При малейшем повороте магия исчезает.

Другие невозможные фигуры

Треугольник Пенроуза стал отправной точкой для целого направления в искусстве — его называют имп-арт, или импоссибилизм. Художники из разных стран соревнуются в изобретении новых невозможных конструкций.

Помимо треугольника, классическими считаются несколько фигур. «Чёртова вилка», или невозможный трезубец: у основания у неё два зубца, а в середине — три, и чем дольше смотришь, тем сильнее теряешься. Невозможный куб Эшера, встроенный в литографию «Бельведер» 1958 года: на первый взгляд — обычный куб, но верхние рёбра расположены иначе, чем нижние.

Лестница Пенроуза — замкнутая конструкция из четырёх пролётов, при обходе которой путник всегда оказывается там, откуда начал, независимо от направления движения. Эшер использовал её дважды: в «Восхождении и спуске» и в более ранних эскизах.

Реутерсвард за свою жизнь нарисовал более двух тысяч невозможных фигур — треугольники, пирамиды, кубы, цилиндры и конструкции, у которых нет общепринятого названия.

Невозможные фигуры давно вышли за пределы листа бумаги. Уличные художники переносят их на асфальт — и прохожие останавливаются, не веря глазам. Как это выглядит на городских улицах, можно посмотреть в подборке трёхмерных рисунков на асфальте.

Зачем мозгу нужны эти иллюзии

Невозможные фигуры — это не баг зрительной системы, а следствие её нормальной работы. Мозг обрабатывает плоское изображение и восстанавливает из него трёхмерный объект — это происходит автоматически, за доли секунды, без усилий со стороны человека. Система работает безотказно для миллионов реальных объектов.

Невозможные фигуры — редкое исключение, специально сконструированное так, чтобы система давала сбой. Мозг не может остановиться на полпути и честно сказать «не знаю»: он строит интерпретацию по части данных, а потом обнаруживает противоречие. И снова пытается. Именно поэтому смотреть на треугольник Пенроуза долго — физически некомфортно.

Психологи используют невозможные фигуры для изучения механизмов восприятия. Архитекторы и дизайнеры — для создания эффектных визуальных трюков. Логотип крупнейшего производителя компьютерных игр — стрелка из трёх фрагментов, составляющих трибар.

Оскар Реутерсвард нарисовал первый невозможный треугольник в 1934 году случайно — на полях тетради во время урока. Свои работы он долгое время не публиковал и не показывал широкой аудитории. Когда в 1980-х годах Швеция выпустила серию почтовых марок с его невозможными фигурами, сам Реутерсвард узнал об этом из газет. К тому моменту фигуру уже полвека называли «треугольником Пенроуза» — и переименовывать её никто не стал.